Игорь Кваша родился 4 февраля 1933 года в Москве. Его отец заведовал кафедрой Московского химико-технологического института имени Менделеева. Мать же была по профессии педагогом-дефектологом и много лет проработала с глухонемыми и умственно отсталыми детьми. В возрасте 10 лет отца Игорь потерял — он погиб на войне в 1943 году.
С юного возраста Игорь Кваша стал интересоваться театром, занимался в театральной студии московского Дворца пионеров. Обучение он продолжил в Школе-студии МХАТ, которую окончил в 1955 году, после чего два года играл в МХАТе имени Горького.
Игорь Кваша был одним из основателей театра «Современник», в котором проработал с момента его создания и до конца жизни. В первом спектакле нового театра «Вечно живые» по пьесе Виктора Розова (1956 год) Игорь Кваша исполнил роль комиссованного солдата Володи.
На сцене «Современника» Игорь Кваша сыграл более полусотни ролей. Наиболее известные его роли — Гаев в «Вишневом саде», первый министр в спектакле «Голый король», Иосиф Сталин в спектакле «Полет черной ласточки, или Эпизоды истории под углом 40 градусов». Кроме того, Игорь Кваша играл в спектаклях «Три сестры», «Сирано де Бержерак», «Виндзорские насмешницы», «Карамазовы и ад» и др. В театре он также пробовал в себя в качестве режиссера.
Игорь Кваша также много снимался в кино. В частности, он играл в таких фильмах, как «Человек с бульвара Капуцинов», «Сердца трех», «Тот самый Мюнхгаузен».
С 1998 года Игорь Кваша вел телепередачу «Жди меня». На протяжении многих лет он помогал людям находить родственников и друзей, с которыми те потеряли связь.
В 2007 году вышли мемуары Игоря Кваши «Точка возврата».
Игорь Кваша имел звание народного артиста РСФСР, был награжден Орденом «За заслуги перед Отечеством» III степени, Орденом Дружбы и другими наградами и театральными премиями.
Игорь Кваша был женат дважды. Первой его женой была актриса Светлана Мизери, второй — врач и ученый Татьяна Путиевская. У Игоря и Татьяны родился сын Владимир.
