Отвечает Есения Павлоцки, лингвист-морфолог, эксперт института филологии, массовой информации и психологии Новосибирского государственного педагогического университета.
Ударение в слове важно вызывает сложности из-за своего функционала и значений.
Если «он важно прошёл по комнате» вы уверенно произнесёте с ударением на первый слог, то насчёт «им это важно» можно посомневаться.
Хорошая новость в том, что и в качестве наречия, и в роли сказуемого слово важно принимает ударение на первый слог — ва́жно.
Русское ударение, стоит отметить, очень любит свободу. Это проявляется в его подвижности, разноместности и нестабильности.
В последнее время ученые говорят о тенденции русского ударения смещаться в центр слова и переходить из начала в конец слова, а также совершать обратный путь. Орфоэпические нормы вообще очень гибки, поэтому то, что резало слух носителю языка еще вчера, сегодня уже считается нормой.
Однако в слове важно никаких тенденций к смещению ударения сегодня не наблюдается. Говорить «мне это важнО» — ошибка (как и нужнО), и (по крайней мере, пока) грамотным людям видится грубейшей ошибкой.
Опасность подстерегает там, где слово ва́жно выступает как краткое прилагательное во множественном числе: в этом случае ударение зависит от смысла слова.
Важны́ — имеют значение, а ва́жны — тот, кто важничает (важно ходит по комнате). Последнее значение в норме не употребляется по отношению к неодушевленным объектам.
Так, норма: вАжно, но важнЫ/вАжны — в зависимости от значения.
Врач он или она — как правильно? 
Май или май месяц — как правильно? 
Пара туфлей или туфель — как правильно? 
Полотенец или полотенцев — как правильно? 
Мой или свой — как правильно? 
