Работал в Большом театре и был его солистом, потом стал балетмейстером и постановщиком танцевальных сюит в оперных спектаклях. Создал первый в России Ансамбль народного танца и 60 лет был его бессменным руководителем. Кроме того, создал первую в стране профессиональную школу народного танца (хореографическая Школа-студия при ГААНТ), основал Хореографический концертный ансамбль, сейчас переименованный в Московский театр классического балета.
Ему были вручены награды и медали не только в России, но и во многих странах мира. Моисеев был награжден тремя Орденами Ленина, двумя Орденами Трудового Красного Знамени, медалью Моцарта, полученной к 90-летию со дня основания ЮНЕСКО. Был кавалером Болгарского Ордена «Святого Александра с короной», Румынского Ордена «Офицера культуры», Польского Ордена «Полония Реститула».
