Отвечает Есения Павлоцки, лингвист-морфолог, эксперт института филологии, массовой информации и психологии Новосибирского государственного педагогического университета.
Существуют оба слова.
Подвязаться – значит «надеть на себя что-нибудь, завязав».
Подвизаться – от слова «подвиг», значит заняться, действовать, трудиться, совершить подвиг. Слово происходит от древнерусского «подвижатися» – «стремиться, стараться» и старославянского «подвизати сѧ», то есть «стремиться, стараться» – от слова «двигать».
Он же сказал им: подвизайтесь войти сквозь тесные врата, ибо, сказываю вам, многие поищут войти, и не возмогут (Евангелие от Луки).
Проблема, которую формулируют как ошибку, заключается как раз в том, что слово подвязаться используется со значением слова подвизаться.
Сейчас слово подвязаться используют так же, как слово подрядиться со смысловым оттенком «ввязаться». Подвязался помочь соседке с переездом, например.
Итак, правильно употреблять и слово подвязался (первом и втором, новом значении), и слово подвизался, но обращать внимание на контекст и смысл высказывания, делая выбор в соответствии с лексическим значением этих слов.
Невтерпеж или не в терпеж – как правильно? 
Зави́дно или за́видно – как правильно ставить ударение? 
Джинн или джин – как правильно? 
До смерти или досмерти – как правильно? 
