Отвечает Есения Павлоцки, лингвист-морфолог, эксперт института филологии, массовой информации и психологии Новосибирского государственного педагогического университета.
Для того, чтобы правильно выбрать один из вариантов, нужно определить по контексту, какая часть речи требуется в конструкции.
Затем – это обстоятельственное наречие со значением “после”. По смыслу оно указывает на последовательность событий:
Молодой человек очень вежливо попросил прощения за то, что разбудил К., представился и затем сказал: «Эта деревня принадлежит замку».
Ф. Кафка «Замок»
Затем также может быть союзом со значением цели:
У него сидел известный профессор философии, приехавший из Харькова, собственно, затем, чтобы разъяснить недоразумение, возникшее между ними по весьма важному философскому вопросу.
Л.Н. Толстой «Анна Каренина»
Во всех прочих случаях перед нами предлог «за» в сочетании с указательным местоимением «тем»:
За тем деревом (за вот этим деревом).
Итак, затем – наречие (после) или союз (цель), а за тем – предлог с указательным местоимением.
Печём или пекём – как правильно? 
Повторно или вторично – как правильно? 
Отдавать отчет действиям или в действиях – как правильно? 
Непрочь или не прочь – как правильно? 
Неймется или не имется – как правильно? 
