Отвечает Есения Павлоцки, лингвист-морфолог, эксперт института филологии, массовой информации и психологии Новосибирского государственного педагогического университета.
Эти слова абсолютно равноправны и различаются лишь едва заметными оттенками значения. У обеих приставок у- и за- в этих словах одинаковое значение – завершение действия.
Обычно языковая система избавляется от таких дубликатов, потому что ей не нужна избыточность. Если слова абсолютно тождественны, остается только одно. Процесс стирания дубликата довольно долгий, поэтому его завершение не всегда можно застать при жизни – тем более, если стирание началось относительно недавно.
Слова уснуть и заснуть относятся к тем, что еще долго будут существовать в соседстве, хотя для того, чтобы уловить их отличие, нужно напрячься. Несмотря на то, что в целом приставки передают одно значение, смысловые акценты разнятся.
Уснуть – значит погрузиться в сон. Слово передает полноту и исчерпанность действия. То есть смысловой акцент на том, что начатый процесс именно завершился.
Заснуть – тоже погрузиться в сон, но смысловой акцент на начале процесса. То есть погружение в сон уже произошло и теперь начался сам процесс сна, который и находится в центре внимания, в то время как в случае со словом уснуть акцент на процессе “погружение в сон”.
Эти оттенки находятся в лексическом значении настолько глубоко, что мы никогда не выбираем одно из слов, основываясь на них.
Правильно – заснуть и уснуть.
Патриарх с большой или маленькой буквы – как правильно? 
Хеллоуин или Хэллоуин – как правильно? 
Исче́рпать или исчерпа́ть – как правильно? 
Извините или извиняюсь – как правильно? 
Инсайд и инсайт – как правильно? 
