Отвечает Есения Павлоцки, лингвист-морфолог, эксперт института филологии, массовой информации и психологии Новосибирского государственного педагогического университета.
Многие считают, помня о школьном правиле про раздельное написание частицы не с глаголами, что очевидно правильно – не договаривают. Это не так.
Допустим, у нас есть конструкция “...а если отвечают, половины (не) договаривают...”. Как не допустить ошибку? Ни в том, ни в другом случае вы не допустите ошибки – все зависит от того, какое значение подразумевается.
Если мы пишем недоговаривают слитно, то НЕДО – приставка. В этом случае значение будет таким: умалчивают о чем-либо, скрывают что-либо. Так, “...а если отвечают, половины недоговаривают…” – значит: “отвечают, но многое все равно скрывают”. 
Если же мы пишем не договаривают, то НЕ – отрицательная частица, а договаривают – глагол с приставкой ДО. Приставка ДО при добавлении к глаголам образует глаголы со значением завершения действия, достижения цели. Следовательно, не договорить – не довести до конца свою речь; есть процесс говорения, который по какой-либо причине оборвался. Так, “...а если отвечают, половины не договаривают…” – значит: “начинают ответ, но прерывают его и не доводят до конца”.
Итак, оба варианта верны, но только в том случае, если вы правильно сочетаете их со смыслом высказывания. Недоговорить – скрыть, не договорить – не завершить речь.
