Отвечает Есения Павлоцки, лингвист-морфолог, эксперт института филологии, массовой информации и психологии Новосибирского государственного педагогического университета.
Правильно и то, и другое, но смысловые отличия между этими формами есть, поэтому они не взаимозаменяемы.
Сам глагол двигаться относится к избыточным, как их называют в лингвистике. Это значит, что у слова есть несколько параллельных форм, различающихся по смыслу или стилистически. Например, брызгает – брызжет.
У глагола двигаться есть несколько значений:
- Находиться в движении, перемещаться, направляться;
- Трогаться, отправляться;
- Шевелиться, изменять положение тела;
- Обладать способностью движения;
- Содействовать развитию чего-либо, побуждать, руководить.
Если речь идет о значениях «перемещаться» (1) и «шевелиться» (3), возможны обе формы – и движется, и двигается.
В значении «трогаться» (2) используется только форма двигается: «поезд, машина двигается» (форма движется здесь будет ошибкой).
То же справедливо и для значения «обладать способностью» (4): «у него руки не двигаются».
Здесь же, в четвертом значении, сформировалось дополнительное значение «уметь танцевать»: «он хорошо двигается» (не движется!).
И в последнем значении «содействовать» (5) предпочтительна форма движет: «что тобой движет?».
Таким образом, на употребление определенных форм в определенных контекстах может накладываться запрет из-за микрозначений этих слов. Например, мы не можем сказать «он хорошо движется на танцполе», потому что здесь активно микрозначение ‘двигает телом в танце’, а не ‘перемещается’.
Итак, форму следует выбирать, опираясь на значение и стиль высказывания, но в общем смысле обе они равноправны.
Безотносительно чего или к чему – как правильно? 
Щиплет или щипает – как правильно? 
Фэнтези или фентази – как правильно? 
Уда́лся или удался́ – как правильно ставить ударение? 
Подвизаться или подвязаться – как правильно? 
