Своей многолетней деятельностью Башмет опроверг мнение о том, что альт может быть только второй скрипкой в оркестре, музыкант исполнил все произведения, написанные для альта, и первым стал давать сольные концерты. Сейчас многие пишут специально для Башмета.
Башмет получил много наград, в том числе 2-ю премию на Международном конкурсе альтистов в Будапеште, 1-ю премию на конкурсе в Мюнхене, Государственную премию СССР, Государственную премию Российской Федерации, ордена России, Франции, Италии, Литвы, Украины и звание Почетного академика Лондонской академии искусств. Музыкант выступал в ансамблях с Ростроповичем, Рихтером, Кремером, Третьяковым и другими выдающимися музыкантами. Самому музыканту посвящены сочинения Альфреда Шнитке, Родиона Щедрина, Гии Канчели, Александра Чайковского, Эдисона Денисова и других композиторов. С 1994 года в Москве проводится Международный конкурс альтистов имени Юрия Башмета.
Он является дирижером и руководителем организованных им камерного ансамбля «Солисты Москвы» и симфонического «Новая Россия». С 1972 года Башмет играет на инструменте мастера Паоло Тесторе (Милан, альт 1758 г.).