Отвечает Есения Павлоцки, лингвист-морфолог, эксперт института филологии, массовой информации и психологии Новосибирского государственного педагогического университета.
Оба варианта верны в зависимости от того, в каком контексте находятся.
Притом — это присоединительный союз. Мы употребляем его во второй части предложения, после запятой, если подразумеваем значение добавочных сведений о том, что было названо в первой части.
Он сделал эту работу вчера, притом быстро. В первой части предложения дана главная информация: работа сделана. Добавочное сведение о том, что она была сделана быстро, вводится через конструкцию с присоединительным союзом ПРИТОМ.
При том — это предлог + указательное местоимение. Это сочетание из двух разных частей речи пишем через пробел. Обычно в конструкции за ним следует объект, на который указывает местоимение. По значению это сочетание можно заменить похожим — ПРИ ЭТОМ.
При том университете была военная кафедра. При каком университете? При том. Вы можете проверить правильность раздельного описания, просто опустив местоимение: при университете была военная кафедра. Если вы опустите «том» в первом примере, то получите бессмыслицу: он сделал эту работу вчера, при (том) быстро. Остается при быстро, что ничего не значит.
Итак, правильно: притом — присоединительный союз добавочного значения; при том — предлог с указательным местоимением с указанием на объект.
Подмышкой или под мышкой — как правильно? 
Колготы или колготки – как правильно? 
Односолодо́вый или односо́лодовый – как правильно? 
Локте́м или ло́ктем – как правильно? 
Лазить или лазать – как правильно? 
