Александр Кибовский родился 15 ноября 1973 года в Москве.
В 1995 году окончил Российский государственный гуманитарный университет по специальности «музейное дело, охрана памятников истории и культуры».
В 2009 году — Московский государственный университет приборостроения и информатики по специальности «юриспруденция».
Кандидат исторических наук.
Профессиональная деятельность
В 1993 году был редактором в военно-историческом журнале «Цейхгауз», с 1998 года — заместителем главного редактора журнала.
В 1996-1997 годах — младший научный сотрудник музея-панорамы «Бородинская битва».
В 1997-1998 годах — главный специалист Министерства культуры РФ.
В 1998-2000 годах — заместитель начальника отдела лицензирования департамента по сохранению культурных ценностей Министерства культуры РФ.
В 2000-2001 годах — срочная военная служба в Военно-морском флоте России, уволился в запас в звании сержанта морской пехоты.
В 2001-2004 годах — заместитель руководителя департамента по сохранению культурных ценностей — начальник отдела Министерства культуры РФ.
С 2004 года преподавал историю военного костюма в школе-студии при Московском художественном театре им. А. П. Чехова.
В этом же году работал советником в Аппарате Правительства РФ.
В 2006-2008 годах — заместитель директора департамента массовых коммуникаций, культуры и образования Правительства РФ.
В 2008 году возглавил Федеральную службу по надзору за соблюдением законодательства в области охраны культурного наследия (Росохранкультура).
С ноября 2010 года назначен министром правительства Москвы, руководителем городского Департамента культурного наследия (Москомнаследие).
С октября 2011 года — заместитель председателя комиссии при правительстве Москвы по рассмотрению вопросов осуществления градостроительной деятельности в границах достопримечательных мест и зон охраны объектов культурного наследия.
В 2013 году руководил рабочей группой по координации подготовки и проведения информационно-пропагандистских мероприятий в связи с памятными датами военной истории Отечества Российского организационного комитета «Победа».
С октября 2014 года — руководитель московского отделения Российского военно-исторического общества.
С марта 2015 года по 27 сентября 2023 года — министр правительства Москвы, руководитель городского Департамента культуры.
С конца 2023 года — представитель Москвы по вопросам культурного сотрудничества с новыми субъектами РФ (Донецкой и Луганской Народными Республиками, Запорожской и Херсонской областями).