Гарри Владимирович Минх родился 1 февраля 1959 года в Томске.
В 1981 г. окончил Томский государственный университет (ТГУ) им. В. В. Куйбышева.
В 1988 году окончил аспирантуру юридического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.
С 1981 работал инженером, младшим научным сотрудником, ассистентом и старшим преподавателем кафедры в Томском госуниверситете.
С 1992 по 1996 год — заведующий сектором государственного права, заместитель начальника отдела Государственно-правового управления президента РФ.
С 1996 по 2000 год — заместитель начальника управления правовых вопросов государственного строительства и публичного права Главного государственно-правового управления президента РФ.
В 2000-2002 гг. — заместитель начальника Главного государственно-правового управления президента РФ.
С 1998 года — преподает в Национальном исследовательском университете «Высшая школа экономики» (НИУ ВШЭ).
С 2002 по 2004 год — полномочный представитель Правительства РФ в Совете Федерации.
В 2004 году работал в предвыборном штабе Владимира Путина.
В 2008 году был главным юристом в предвыборном штабе Дмитрия Медведева.
С 2004 по 2009 год — директор правового департамента Правительства РФ.
С 12 февраля 2009 года занимает пост полномочного представителя президента РФ в Государственной Думе РФ.
В 2012 и 2018 годах переназначен на должность полномочного представителя президента РФ в госдуме Федерального Собрания РФ.
14 мая 2024 года вновь переназначен на должность полномочного представителя Президента РФ в Госдуме РФ.
Профессор, заведующий базовой кафедрой межотраслевого регулирования факультета права НИУ ВШЭ.
Заслуженный юрист Российской Федерации.
Действительный государственный советник РФ 1 класса (2004).
Награжден медалью ордена «За заслуги перед Отечеством» II степени (2007), орденом Дружбы (2008). Отмечен Почетной грамотой Правительства РФ (2006), имеет благодарности президента (1999, 2002) и Правительства РФ (2003).