Рем Иванович Вяхирев родился 23 августа 1934 года в селе Большая Черниговка (Куйбышевская область) в семье сельского учителя, был страшим среди шести детей.
После школы поступил на нефтяной факультет Куйбышевского индустриального института по специальности «разработка нефтяных и газовых месторождений». В 1956 году Рем Вяхирев окончил институт с квалификацией «горный инженер».
В течение 15 лет Вяхирев работал на приволжских нефтяных промыслах в производственном объединении «Куйбышевнефть» (сейчас входит в состав ОАО НК «Роснефть»). В 1971 году его назначили начальником управления компании «Оренбурггазодобыча». Через два года, в 1973 году, Вяхирев познакомился с Виктором Черномырдиным, которого только что утвердили в статусе директора Оренбургского газоперерабатывающего завода. Спустя три года Вяхирев стал директором «Оренбурггазодобыча», а с 1978 по 1982 год работал главным инженером в объединении «Оренбурггазпром». В 1983 году Вяхирев занял должность заместителя министра газовой промышленности СССР Виктора Степановича Черномырдина, совмещая эту работу с руководством компанией «Тюменьгазпром».
В 1985 году Вяхирев стал первым заместителем министра Черномырдина. Вместе с Черномырдиным Вяхирев уговорил Совет министров СССР превратить Министерство газовой промышленности в концерн «Газпром». После преобразования Черномырдин стал председателем правления созданного концерна, а Вяхирев был назначен первым заместителем председателя правления этого концерна.
Виктор Черномырдин покинул пост главы «Газпрома» в 1992 году, и Вяхирев был назначен сначала исполняющим обязанности, а затем – официальным председателем правления нефтяной корпорации. Кроме того, до середины 1996 года он также возглавлял совет директоров РАО «Газпром».
Будучи главой «Газпрома», Вяхирев занимал и другие должности. В частности, он являлся членом совета директоров ЗАО «Общественное телевидение» (1995 г.), председателем совета директоров банка «Империал» (1994–1995 гг.), членом совета движения «Наш дом – Россия» (1995–2000 гг.), председателем совета директоров «Сибирской нефтяной компании» (с 1996 года), главой наблюдательного совета Промстройбанка России, председателем совета директоров «Газпромбанка», президентом некоммерческого партнёрства «Российское газовое общество».
Как руководитель концерна «Газпром» Вяхирев пользовался большим влиянием в России. Вяхиреву удалось создать на базе «Газпрома» стабилизационный фонд.
В 2001 году Рем Вяхирев по собственному желанию ушёл в отставку с поста председателя правления «Газпрома», после чего его на год избрали председателем совета директоров этого же концерна. В 2002 году он окончательно покинул «Газпром» и был назначен советником Дмитрия Медведева (на тот момент Медведев занимал пост первого заместителя руководителя администрации президента) на общественных началах.
У Вяхирева осталось двое детей и четверо внуков. Его брат, Виктор Вяхирев, до 2003 года возглавлял дочернее предприятие «Газпрома» – «Тюменьбургаз».
Рем Вяхирев был кандидатом технических наук, академиком Международной инженерной академии, почётным профессором Самарского государственного технического университета. Он написал свыше 60 научных работ, публиковался в журнале «Газовая промышленность», стал соавтором монографии «Разработка месторождений со сложным составом газа».
Кроме того, Рем Иванович стал лауреатом Государственной премии СССР в 1981 году, Государственной премии РФ в области науки в 1997 году, награждён орденами «За заслуги перед Отечеством» IV степени, Орденом Андрея Первозванного и другими наградами.
11 февраля 2013 года Рем Вяхирев скончался в Москве в возрасте 78 лет.