Игорь Кваша родился в 1933 году в интеллигентной московской семье. Отец — химик, мать — логопед, дефектолог. Детство будущего актера прошло в арбатских переулках, которые в то время были достаточно криминальными. Игорь постоянно попадал в неприятные истории, дрался, гужевался (было тогда такое словечко, сейчас бы сказали «развлекался») с приятелями в подворотнях. Игорю было 8 лет, когда началась война. Его вместе с родителями отправили в эвакуацию из столицы в Сибирь. Этот момент во многом стал поворотным в судьбе Игоря Владимировича. В 1942 году на фронт призвали его отца. Вскоре он погиб. Мать решила скрыть этот факт от Игоря. Они никогда не касались этой темы, хотя Кваша всегда знал, что случилось на самом деле. Находясь в эвакуации, Игорь вместе со сверстниками решил сбежать на фронт. К счастью, попытка оказалась неудачной. Мальчишек вернули. Примерно в то же самое время Игорь впервые по-настоящему увлекся театральным кружком. Учителя доверили ему сыграть главную роль в сказке «Морозко». Постановку играли в госпиталях, в местном клубе, и всегда с большим успехом. Этот опыт невероятно вдохновил Квашу. Он понял для себя, чем будет заниматься, когда война закончится.
Вернувшись после окончания войны в Москву, Кваша поступил в театральную студию при Доме пионеров. Всё бы ничего, да только занятия в студии сказывались на учебе в школе еще хуже, чем дворовая жизнь в арбатских переулках. Мать Игоря вынуждена была много работать, поэтому воспитанию сына не могла уделять достаточно внимания. «Уж лучше театр, чем улица», — справедливо решила она.
Вторым важным поворотом в судьбе Игоря Владимировича стал учеба в Школе-студии МХАТ. Учась на втором курсе, он встретил там свою первую любовь — актрису Светлану Мизери. Недолго думая, студенты решили пожениться. Правда, брак их продлился недолго. Но это тогда казалось не так уж важно. Подумаешь, расстались! Гораздо важнее для молодого человека было то, что в Школе-студии он нашел единомышленников, которые кардинально повлияли на всю его жизнь. Вместе с Галиной Волчек и Олегом Ефремовым они задумали создать собственную театральную студию. Даже на бумаге зафиксировали клятву никогда не предавать эту свою студенческую мечту. И не предали.
Как Волчек искала Кваше жену
Свой первый спектакль они создавали по ночам на кухнях друг у друга. Репетировали вполголоса, чтобы не разбудить домашних. Руководство МХАТа разрешило молодым и дерзким актерам играть свою постановку по выходным на сцене одного из филиалов театра. Спектакль пользовался невероятным успехом. Кваша, Ефремов и Волчек поняли, что выбрали правильный путь. Настало время сделать следующий шаг. Чтобы получить юридический статус театральной студии, актерам пришлось уволиться из театров, в которые их, вчерашних выпускников, только-только приняли. Но они верили в свою идею.
Когда встал вопрос о том, как назвать новую театральную студию, кто-то вспомнил пушкинский журнал «Современник» и предложил позаимствовать это название. А дальше началась работа над вторым спектаклем — «В поисках радости». Молодые «современниковцы» играли его на сцене филиалов МХАТа, в Театре-студии киноактера. В общем, где придется. Однажды на спектакль явилась тогдашний министр культуры Екатерина Фурцева. После окончания постановки она ушла также внезапно, как и появилась. Молодые актеры замерли в напряжении.
В напряжении им пришлось пребывать недолго. Вскоре Фурцева выпустила приказ об организации при МХАТе театра-студии «Современник». Руководству театра это решение крайне не понравилось. Партийные начальники МХАТа написали в министерство письмо, в котором назвали молодую труппу несформировавшейся, сырой и недостаточно профессиональной. В итоге «Современник» пристроили в гостиницу «Советская», где театр играл три года. После, благодаря усилиям Фурцевой, «Современник» переехал сначала в старое, ветхое здание на Маяковской, а после в помещение кинотеатра «Колизей» на Чистопрудном бульваре, где находится и по сей день.
Все эти годы жизнь Игоря Владимировича принадлежала исключительно театру. Он жил сценой, практически не оставляя места ни для чего другого в своей жизни. Ближайшей подругой и соратницей для Кваши на всю жизнь стала Волчек. Они были как брат и сестра. «Сестру» крайне беспокоило то, что у Игоря никак не складывалась личная жизнь. Она в открытую занималась практически сводничеством. Бесконечно знакомила его со своими подругами, с молодыми актрисами. Но попытки были безуспешными.
Однажды Галину Борисовну пригласили на съемки в Коктебель. За компанию Волчек прихватила и Квашу. Уже по привычке перезнакомила своего «брата» со всей женской частью съемочной группы. Игорь Владимирович оставался равнодушен. Но Волчек не сдавалась. Она дала себе слово, что не успокоится, пока не женит Квашу. И слово свое она сдержала. Там же в Коктебеле случайно оказалась ее знакомая из Москвы Таня Путиевская. Никакого отношения к театру она не имела, но для Галины Борисовны это было уже неважно. Кваша влюбился в Путиевскую с первого взгляда. Волчек облегченно выдохнула. Предложение возлюбленной Игорь Владимирович сделал, как только вернулся в Москву. Таня ответила согласием. Этот брак оказался для Кваши по-настоящему счастливым, как и его роман с «Современником».